【エンピツ転がし・さらに続】 「FP3級の本番で,自力で解ける問題が何割あれば,あとはまぐれで合格できるのか?」 を確率の計算で求めてみた


前回は,FP3級にでたらめに回答したら,何点取れるのか?を計算した。

結果は,鉛筆を転がしても,学科は平均して4割は取れるという驚愕の結果だった。

 

さて,実際に試験を受験するときには,さすがに全問をでたらめに回答はしないだろう。

ある程度は,自力で確実に正解できる。

そして,残りの部分はランダムだ。

 

ここで気になることがある。

事前にどれほど勉強すればよいのか?

 

つまり,

  • 「自力で確実に解ける問題がいくつあれば,残りはまぐれで合格点を取れるのか?」

という疑問だ。

 

最小限の労力で合格するために,確実におさえる割合は?

という,不真面目な疑問だが・・・。

 

この疑問に答えるために,確率と期待値を使って,実際に計算してみた。

その結果が…。

確率の計算による結論:

・FP3級の学科試験では,
 正誤問題を30問中6問 (つまり2割)と,
 3択問題を30問中12問 (つまり4割)
 自力で確実に解ければとりあえずOK。
 残りはでたらめに回答しても,
 確率的に平均して,合計で6割取れて合格できる。

・FP3級の実技試験では,
 FP協会なら20問中8問(つまり4割),
 きんざいなら15問中6問(同じく4割)を
 自力で確実に解ければとりあえずOK。
 残りはでたらめに回答しても,
 確率的に平均して,合計で6割取れて合格できる。

・ただし上記の計算では,
 自力で解いた部分は,確実に正解している必要がある。

えっ・・・?

2割と4割だけわかってれば,あとは鉛筆を転がして,
学科に合格できるとな・・・

・・・

 

この計算を実行するプログラムを下記に掲載する。

前回と同じく,下記のソースコードを foo.js で保存してダブルクリック。

/*

	FP3級の試験で,「自力で確実に解ける問題」が何割あれば
	あとはまぐれで合格できるのか
	を計算するプログラム
	
	学科+実技(FP協会・きんざい)
	それぞれ算出。

*/


// 和をとる
function sigma( func, n_start, n_end ){
	var sum = 0;
	for( var i = n_start; i <= n_end; i ++ ){
		sum += func( i );
	}
	return sum;
}

// C,組み合わせ
function combination( a, b ){
	return permutation( a, b ) / factorial( b );
}


// P,順列
function permutation( a, b ){
	return factorial( a ) / factorial( a - b );
}

// !,階乗
function factorial( n ){
	return ( n <= 1 ) ? 1 : n * factorial( n - 1 );
}


// a択のテストをq問受けてそれぞれランダムに解答し,n問正解する確率
function prob_seikei_number( a, q, n ){
	return (
		combination( q, n ) 
			* Math.pow( ( 1 / a ), n ) 
			* Math.pow( ( ( a - 1 ) / a ), q - n )
	);
}


// a択のテストをq問受けてそれぞれランダムに解答し,k問以上正解する確率
function prob_goukaku( a, q, k ){
	return sigma(
		function( n ){
			return prob_seikei_number( a, q, n ); 
		},
		k,
		q
	);
}


function log(s){
	WScript.Echo(s);
}

// 配列のイテレータ関数
Array.prototype.each = function( func ){
	for( var i = 0; i < this.length; i ++ ){
		func( this[ i ], i );
	}
	return this;
};

// map関数
Array.prototype.map = function( func ){
	var arr = [];
	this.each(function( item, index ){
		arr.push( func( item, index ) );
	});
	return arr;
};


// 数値を小数点第二位で四捨五入
function decimal2( n ){
	return Math.round( n * 10 ) / 10;
}



// 自力で何問とければよいのか?


// a択の試験で,q問中のk問を自力で正解できて,
// 残りはでたらめに回答した場合の得点の期待値
function jiriki_and_random_tokuten( a, q, k ){
	return (
		// 自力で正解できる問題数
		k 
			+ 
		// まぐれで正解する問題数
		sigma(
			function( n ){
				return n * prob_seikei_number( a, q - k, n );
			},
			0,
			q-k
		)
	);
}


// a択の試験をq問受けた時に,
// 「自力で解ける問題数」kと,得点の期待値yとの
// 関係をグラフにして調べる。
// そのためのデータを配列で返す
function data_jiriki_graph_for_one_test( a, q ){
	var arr = [];
	
	// 自力で解ける問題数を変えながら,得点を調べる
	for( var k = 0; k <= q; k ++ ){
		// 得点の期待値
		var avg_score = jiriki_and_random_tokuten( a, q, k );
		
		// 記録
		arr.push({
			jiriki     : k,
			avg_score  : decimal2( avg_score ),
			percentage : decimal2( avg_score / q * 100 )
		});
	}
	
	return arr;
}



// a択の試験をq問受けた時に,
// 「自力で解ける問題数」kと,得点の期待値yとの関係を
// 計算した結果を表示する
function show_jinriki_graph_for_one_test( a, q ){
	var ret = data_jiriki_graph_for_one_test( a, q )
		.map(function(info){
			return info.jiriki 
				+ " 問 → \t" 
				+ info.avg_score 
				+ " 問正解 :\t"
				+ info.percentage
				+ " %"
			;
		})
		.join("\n")
	;
	log("自力で解けた問題の数 → 正解数の期待値 : 得点率\n" + ret);

}



// FP3級の実技(FP協会)で,自力で解ける問題数と得点の関係
show_jinriki_graph_for_one_test( 3, 20 );
	// 自力で20問中の8問正解すれば,
	// あとはまぐれで合計12問正解できて,
	// 6割(60%)取って合格できる。


// FP3級の実技(きんざい)で,自力で解ける問題数と得点の関係
show_jinriki_graph_for_one_test( 3, 15 );
	// 自力で15問中の6問正解すれば,
	// あとはまぐれで合計9問正解できて,
	// 6割(60%)取って合格できる。




// FP3級の学科の正誤問題で,自力で解ける問題数と得点の関係
show_jinriki_graph_for_one_test( 2, 30 );
	// 自力で30問中の6問正解すれば,
	// あとはまぐれで合計18問正解できて,
	// 正誤問題の中で6割(60%)取れる。


// FP3級の学科の3択問題で,自力で解ける問題数と得点の関係
show_jinriki_graph_for_one_test( 3, 30 );
	// 自力で30問中の12問正解すれば,
	// あとはまぐれで合計18問正解できて,
	// 3択問題の中で6割(60%)取れる。


/*

確率の計算による結論:

・FP3級の学科試験では,
 正誤問題を30問中6問(つまり2割)と,
 3択問題を30問中12問(つまり4割)を
 自力で確実に解ければとりあえずOK。
 残りはでたらめに回答しても,
 確率的に平均して,合計で6割取れて合格できる。

・FP3級の実技試験では,
 FP協会なら20問中8問(つまり4割),
 きんざいなら15問中6問(同じく4割)を
 自力で確実に解ければとりあえずOK。
 残りはでたらめに回答しても,
 確率的に平均して,合計で6割取れて合格できる。

・ただし上記の計算では,
 自力で解いた部分は,確実に正解している必要がある。

*/

※参考:

Javascript 四捨五入・切り上げ・切り捨て方法 Math.round,Math.ceil,Math.floor | ホームページ制作のサカエン(墨田区
http://www.saka-en.com/javascript/round-roundup-rounddown/

  • 基となる数値を 10 で乗算させ、それをroundで四捨五入し、その後 10 で除算して小数点を戻します。 結果、小数点第 2 位で四捨五入された値を求めることができます

このプログラムの実行結果

出力を載せてみる。

学科試験の正誤問題で,自力で解けた問題数と,合計得点の関係:

自力で解けた問題の数 → 正解数の期待値 : 得点率
0 問 →         15 問正解 :    50 %
1 問 →         15.5 問正解 :  51.7 %
2 問 →         16 問正解 :    53.3 %
3 問 →         16.5 問正解 :  55 %
4 問 →         17 問正解 :    56.7 %
5 問 →         17.5 問正解 :  58.3 %
6 問 →         18 問正解 :    60 % ←ここがボーダー
7 問 →         18.5 問正解 :  61.7 %
8 問 →         19 問正解 :    63.3 %
9 問 →         19.5 問正解 :  65 %
10 問 →        20 問正解 :    66.7 %
11 問 →        20.5 問正解 :  68.3 %
12 問 →        21 問正解 :    70 %
13 問 →        21.5 問正解 :  71.7 %
14 問 →        22 問正解 :    73.3 %
15 問 →        22.5 問正解 :  75 %
16 問 →        23 問正解 :    76.7 %
17 問 →        23.5 問正解 :  78.3 %
18 問 →        24 問正解 :    80 %
19 問 →        24.5 問正解 :  81.7 %
20 問 →        25 問正解 :    83.3 %
21 問 →        25.5 問正解 :  85 %
22 問 →        26 問正解 :    86.7 %
23 問 →        26.5 問正解 :  88.3 %
24 問 →        27 問正解 :    90 %
25 問 →        27.5 問正解 :  91.7 %
26 問 →        28 問正解 :    93.3 %
27 問 →        28.5 問正解 :  95 %
28 問 →        29 問正解 :    96.7 %
29 問 →        29.5 問正解 :  98.3 %
30 問 →        30 問正解 :    100 %


学科試験の3択問題で,自力で解けた問題数と,合計得点の関係:

自力で解けた問題の数 → 正解数の期待値 : 得点率
0 問 →         10 問正解 :    33.3 %
1 問 →         10.7 問正解 :  35.6 %
2 問 →         11.3 問正解 :  37.8 %
3 問 →         12 問正解 :    40 %
4 問 →         12.7 問正解 :  42.2 %
5 問 →         13.3 問正解 :  44.4 %
6 問 →         14 問正解 :    46.7 %
7 問 →         14.7 問正解 :  48.9 %
8 問 →         15.3 問正解 :  51.1 %
9 問 →         16 問正解 :    53.3 %
10 問 →        16.7 問正解 :  55.6 %
11 問 →        17.3 問正解 :  57.8 %
12 問 →        18 問正解 :    60 % ←ここがボーダー
13 問 →        18.7 問正解 :  62.2 %
14 問 →        19.3 問正解 :  64.4 %
15 問 →        20 問正解 :    66.7 %
16 問 →        20.7 問正解 :  68.9 %
17 問 →        21.3 問正解 :  71.1 %
18 問 →        22 問正解 :    73.3 %
19 問 →        22.7 問正解 :  75.6 %
20 問 →        23.3 問正解 :  77.8 %
21 問 →        24 問正解 :    80 %
22 問 →        24.7 問正解 :  82.2 %
23 問 →        25.3 問正解 :  84.4 %
24 問 →        26 問正解 :    86.7 %
25 問 →        26.7 問正解 :  88.9 %
26 問 →        27.3 問正解 :  91.1 %
27 問 →        28 問正解 :    93.3 %
28 問 →        28.7 問正解 :  95.6 %
29 問 →        29.3 問正解 :  97.8 %
30 問 →        30 問正解 :    100 %


実技試験(FP協会):

自力で解けた問題の数 → 正解数の期待値 : 得点率
0 問 →         6.7 問正解 :   33.3 %
1 問 →         7.3 問正解 :   36.7 %
2 問 →         8 問正解 :     40 %
3 問 →         8.7 問正解 :   43.3 %
4 問 →         9.3 問正解 :   46.7 %
5 問 →         10 問正解 :    50 %
6 問 →         10.7 問正解 :  53.3 %
7 問 →         11.3 問正解 :  56.7 %
8 問 →         12 問正解 :    60 % ←ここがボーダー
9 問 →         12.7 問正解 :  63.3 %
10 問 →        13.3 問正解 :  66.7 %
11 問 →        14 問正解 :    70 %
12 問 →        14.7 問正解 :  73.3 %
13 問 →        15.3 問正解 :  76.7 %
14 問 →        16 問正解 :    80 %
15 問 →        16.7 問正解 :  83.3 %
16 問 →        17.3 問正解 :  86.7 %
17 問 →        18 問正解 :    90 %
18 問 →        18.7 問正解 :  93.3 %
19 問 →        19.3 問正解 :  96.7 %
20 問 →        20 問正解 :    100 %


実技試験(きんざい):

自力で解けた問題の数 → 正解数の期待値 : 得点率
0 問 →         5 問正解 :     33.3 %
1 問 →         5.7 問正解 :   37.8 %
2 問 →         6.3 問正解 :   42.2 %
3 問 →         7 問正解 :     46.7 %
4 問 →         7.7 問正解 :   51.1 %
5 問 →         8.3 問正解 :   55.6 %
6 問 →         9 問正解 :     60 % ←ここがボーダー
7 問 →         9.7 問正解 :   64.4 %
8 問 →         10.3 問正解 :  68.9 %
9 問 →         11 問正解 :    73.3 %
10 問 →        11.7 問正解 :  77.8 %
11 問 →        12.3 問正解 :  82.2 %
12 問 →        13 問正解 :    86.7 %
13 問 →        13.7 問正解 :  91.1 %
14 問 →        14.3 問正解 :  95.6 %
15 問 →        15 問正解 :    100 %


それぞれ「自分で解けた問題数が0問」の場合に注目してほしい。

正誤問題は無勉でまったくわからなくても半分取れるし,
3択も無勉で3分の1は取れる。

これが選択式問題というもの。。。

この数字をどうとらえればよいか

「最小限の労力で資格を取得」という考え方は,あまりよくない。

しっかりした知識の証明として,公的な資格の肩書きが与えられるわけで。

だから,「手抜き」を目的として冒頭の数字を参照すべきではないだろう。


しかし,この数字は,まじめな学習者にも役立つ。

たくさん勉強しても,自力では解けない問題が多くて,挫折しそうだ

と感じている人がいるかもしれない。


そんな人に,「全ての問題を,自力で解ける必要はないんですよ」

と教えてあげられる。

ある程度の努力と実力が伴っていれば,ちゃんと報われるような仕組みになっているから大丈夫ですよ

と,安心させることができる。


そんな用途で,この数値を眺めればよいのではなかろうか。


※なお確率の計算の都合上,各問の配点は等しいとした。

※また,学科試験は正誤問題と3択の組み合わせが
合格基準点の6割に達していればよくて,採点時は別々にカウントはしない。